أصغر عدد صحيح بـ 10 عوامل (مسألة رياضيات)

ما هو أصغر عدد صحيح إيجابي يحتوي على 10 عوامل صحيحة إيجابية؟

لنحل هذه المسألة الرياضية بطريقة تدريجية. يمكننا البدء بفحص الأعداد الصحيحة الأولية ومضاعفاتها لنرى كيف يمكننا الوصول إلى 10 عوامل.

أولاً، لنفكر في كيفية تمثيل عدد العوامل لأي عدد صحيح. إذا كان لدينا عدد صحيح $n$ وكتبناه على شكل قوى أولية، فإن عدد العوامل له يمكن تمثيله على النحو التالي:
$n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \ldots \times p_k^{a_k}$
حيث $p_1, p_2, \ldots, p_k$ هي الأعداد الأولية و $a_1, a_2, \ldots, a_k$ هي الأسس المتعلقة بها.

الآن، نحن بحاجة إلى إيجاد عدد صحيح يحتوي على 10 عوامل. واحدة من الطرق للوصول إلى ذلك هي من خلال ملاحظة العوامل الأولية المختلفة وكيفية توزيعها.

عدد العوامل الإجمالي يمكن أن يكون عبارة عن:
$(a_1 + 1) \times (a_2 + 1) \times \ldots \times (a_k + 1)$

ونحن بحاجة إلى العثور على تركيبات ممكنة تؤدي إلى حاصل الضرب يكون 10.

بما أننا نسعى للحصول على أصغر عدد يحتوي على 10 عوامل، فسنبدأ بأصغر الأعداد الأولية.

العدد 10 لا يمكن تمثيله بمضاعفات أقل من 2، لذلك سنبدأ بتفكيك 10 إلى عوامله الأولية. 10 يمكن تمثيله كـ $2 \times 5$.

الآن، يمكننا تجريب التوزيعات الممكنة للأسس للعوامل الأولية:

1. $2^9 \times 5^1$ (ما يعطينا 10 عوامل)
2. $2^4 \times 5^1$ (ما يعطينا 10 عوامل)
3. $2^1 \times 5^3$ (ما يعطينا 10 عوامل)

نجد أن أصغر عدد يحتوي على 10 عوامل هو $2^4 \times 5^1 = 80$.

إذاً، الإجابة هي: 80.

لحل هذه المسألة، سنستخدم فهمنا للعوامل الأولية وطرق تمثيل الأعداد كمضاعفات لهذه العوامل. سنستفيد من قوانين العوامل الأولية وتفاضل الأعداد لإيجاد الحل.

1. قوانين العوامل الأولية:

   • كل عدد صحيح يمكن تحليله إلى عوامل أولية.
   • يتمثل العدد الأولي في عدد يمكن تقسيمه فقط على نفسه وعلى الوحدة.
   • أي عدد صحيح يمكن تمثيله كضرب للأعداد الأولية بقوة معينة.

2. قاعدة عدد العوامل للعدد الصحيح:

   • إذا كان لدينا عدد صحيح ممثل كمضاعفات للأعداد الأولية، فإن عدد العوامل يمكن حسابه بإضافة واحد إلى كل قوة واحدة في التمثيل الأولي.

حيث يكون التمثيل الأولي كالتالي:
$n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \ldots \times p_k^{a_k}$
وعدد العوامل يكون:
$(a_1 + 1) \times (a_2 + 1) \times \ldots \times (a_k + 1)$

3. حساب عدد العوامل للوصول إلى 10 عوامل:
   • نحتاج إلى أن نعثر على تركيبات من الأعداد الأولية تعطي حاصل ضرب يساوي 10.
   • نبدأ بأصغر الأعداد الأولية ونجمع لكل عدد عامل واحد للوصول إلى 10.

باستخدام هذه القوانين، نعثر على أصغر عدد صحيح يحتوي على 10 عوامل صحيحة بتجريب التوزيعات الممكنة للأسس للعوامل الأولية.

في المثال الذي ذكرته، بدأنا بالتفكيك إلى العوامل الأولية ووجدنا أن $10 = 2 \times 5$. ثم بدأنا في توزيع الأسس للوصول إلى عدد العوامل المطلوبة ووجدنا أن $2^4 \times 5^1$ يعطينا 10 عوامل.

بهذا الشكل، نجد أن العدد 80 هو أصغر عدد يحتوي على 10 عوامل صحيحة.

في الحل، تم استخدام مفهوم العوامل الأولية وقوانين الأسس للعوامل والتفاضل بين الأعداد لإيجاد التوزيعات المناسبة للعوامل الأولية للوصول إلى عدد العوامل المطلوب.