أدنى قيمة لتقسيم 378 (مسألة رياضيات)

عندما يكون حاصل ضرب الأعداد الصحيحة من 1 إلى n قابلًا للقسمة على 378، ما هو أقل قيمة ممكنة لـ n؟

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى تحليل العدد 378 إلى عوامله الأولية. العوامل الأولية للعدد 378 هي 2، 3، 3، 3، 2، 7. لنجد أقل قيمة ممكنة لـ n، يجب علينا تحديد أقل عدد من هذه العوامل التي يجب أن تكون موجودة في مجموعة الأعداد من 1 إلى n.

نأخذ أكبر عامل ضربي لكل عدد:

2 × 3 × 3 × 3 × 2 × 7 = 252

إذاً، يجب أن تكون جميع هذه العوامل الأولية موجودة في مجموعة الأعداد من 1 إلى n، ولكن يجب أيضًا أن يكون هناك معامل آخر 3 لضمان أن الناتج قابل للقسمة على 3.

لذلك، نأخذ n = 3:

1 × 2 × 3 = 6

الآن، لدينا جميع العوامل الأولية في مجموعة الأعداد من 1 إلى n والناتج قابل للقسمة على 378. لذلك، أقل قيمة ممكنة لـ n هي 3.

لحل هذه المسألة، سنقوم بفحص العدد 378 وتحليله إلى عوامله الأولية. سنستخدم بعض القوانين الحسابية لتسهيل هذا العمل.

العدد 378 يمكن تحليله إلى عوامله الأولية كالتالي:
$378 = 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 2 \times 7$

لفحص مدى توفر هذه العوامل في الأعداد من 1 إلى n، سنستخدم بعض القوانين:

1. قانون الضرب:
   إذا كانت الأعداد $a$ و $b$ أعدادًا صحيحة وإذا كانت $a \times b$ قابلة للقسمة على عدد $c$، فإن كل من $a$ و $b$ قابلة للقسمة على $c$.

2. القانون الأول لأعداد الأولية:
   أي عدد صحيح يمكن تحليله إلى عدد من العوامل الأولية.

3. قانون قابلية القسمة على 3:
   إذا كان مجموع أرقام العدد صحيحًا قابلًا للقسمة على 3، فإن العدد نفسه قابل للقسمة على 3.

الآن، لنجد أقل قيمة ممكنة لـ n:

نرى أن هناك عامل 2 متكرر مرتين، وعامل 3 متكرر ثلاث مرات، وعامل 7 مرة واحدة.

$2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 2 \times 7 = 252$

لذا، نحتاج إلى أن تكون هذه العوامل الأولية موجودة في مجموعة الأعداد من 1 إلى n، ولكن يجب أن يكون هناك عامل إضافي من 3 لضمان قابلية القسمة على 3.

نختار n = 3، حيث:
$1 \times 2 \times 3 = 6$

وبذلك، نحن نحقق الشرط، حيث يمكننا قسم حاصل ضرب الأعداد من 1 إلى 3 على 378 بدون باقي.